Disequazioni di secondo Grado

Una disequazione di secondo grado è una disequazione in cui compare un'incognita di 2° grado, come, ad esempio x2 - 5x+ 6 > 0. Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte con due metodi, uno grafico e uno algebrico. In entrambi i casi la disequazione va messa in forma canonica, portando tutti i numeri al primo membro.

Metodo Grafico
Metodo Algebrico

Risoluzione mediante il metodo grafico

Prendiamo, come esempio, la seguente semplice disequazione di secondo grado: x2 - 5x+ 6 > 0.

Si prepara un sistema, nel quale si scrive la funzione della parabola corrispondente al polinomio di 2° grado che costituisce il primo membro della disequazione,e che si ottiene ponendo y uguale al polinomio; si scrive inoltre che, come richiesto dalla disequazione, che questo polinomio, che è uguale a y, deve essere maggiore di zero. Il sistema che ne risulterà sarà il seguente:

Ora su di un piano cartesiano si disegna la parabola corrispondente alla funzione; non è necessario che il disegno sia molto preciso, ciò che è importante sono solo le intersezioni della parabola con l'asse delle ascisse (x), e la concavità della parabola. Ecco come si dovrebbe presentare il grafico:

Poiché viene richiesto che la y sia maggiore di zero, verrà considerata quella parte della parabola in cui l'ordinata è maggiore di zero, come mostrato dalla figura al passaggio del mouse. Quindi i valori dell'ascissa, cioè di x, per cui la parabola è maggiore di zero sono tutti quelli precedenti a 2 e successivi a 3, che sono i due punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse. In maniera più sintetica: x < 2 oppure x > 3; i valori di x così trovati costituiscono le soluzioni della disequazione.

N.B.: Se al posto del segno maggiore vi fosse stato il segno maggiore o uguale, nelle soluzioni sarebbero stati contati anche quei valori dell'ascissa per cui l'ordinata era uguale a zero, in questo caso 2 e 3; le soluzioni sarebbero dunque state x ≤ 2 oppure x ≥ 3. Nello stesso modo se il segno fosse stato minore (<) , oppure minore o uguale (), dovevano essere considerati i valori per cui l'ordinata era minore di zero, quindi le soluzioni sarebbero state rispettivamente {2 < x > 3} e {2 x 3}.

Risoluzione mediante il metodo algebrico

Per risolvere una disequazione di secondo grado occorre, come già detto, portarla in forma canonica. Successivamente, per conoscere le soluzioni della disequazione, occorre scrivere l’equazione associata alla disequazione, cioè un’equazione che ha come primo e secondo membro rispettivamente il primo e il secondo membro della disequazione (in pratica si sostituisce il segno della disequazione con un uguale), e se ne trovano le soluzioni, utilizzando il metodo usato per risolvere le normali equazioni di secondo grado; è importante indicare con x1 la soluzione minore, e con x2 la soluzione maggiore dell’equazione.

Dopo aver stabilito, oltre alle soluzioni, anche il discriminante dell'equazione associata bisogna attenersi alla seguente tabella:

La tabella SOPRA indica le soluzioni della disequazione a seconda che il delta sia maggiore, uguale o minore di zero, a seconda che il coefficiente del termine di 2° grado (a) sia positivo o negativo, e a seconda del segno della disequazione. Per rendere più chiaro l'utilizzo di questa tabella, ecco qui alcuni esempi:

1)

 

2)