Equazioni Irrazionali 

Definizione: un'equazione si dice irrazionale quando in essa compaiono uno o più radicali contenenti l'incognita.

Per spiegare il metodo risolutivo delle equazioni irrazionali è necessario dividerle in due casi:

Equazioni in cui l'incognita si trova sotto radice di indice pari;
Equazioni in cui l'incognita si trova sotto radice di indice dispari;

Equazioni in cui l'incognita si trova sotto radice di indice pari

Per risolvere le equazioni irrazionali con radicali contenenti l'incognita di indice pari bisogna prima ricordare che:

La radice di indice pari di un numero reale maggiore od uguale a zero esiste ed è un numero reale maggiore o uguale a zero.
La radice quadrata di un numero reale negativo non esiste.

A causa di queste limitazioni, per risolvere l'equazione bisogna prima porre delle condizioni per le quali l'equazione non sarebbe accettabile. Per prima cosa si deve stabilire una condizione di realtà (C.R.) in cui si pone ogni radicando in cui è contenuta l'incognita maggiore o uguale a zero; infatti se il radicando fosse minore di zero, la radice non esisterebbe. Ad esempio, nella seguente equazione 

la condizione di realtà è x2-3x ≥ 0, e di conseguenza l'incognita, affinchè l'equazione sia accettabile, deve essere minore o uguale a zero, oppure maggiore o uguale a tre. Inoltre, sempre in questo caso, risulta che la radice è uguale ad un polinomio contenente l'incognita; si dovrà stabilire pertanto una condizione di positività (C.P.) in cui si pone il polinomio maggiore o uguale a zero: infatti, come detto sopra, la radice di indice pari di un numero deve essere un numero maggiore o uguale a zero. La C.P. in questo caso è x-2 ≥ 0, quindi x 2. Se al posto di un polinomio con l'incognita vi fosse stato solo un numero, se questo era maggiore o uguale a zero non sarebbe stato necessario stabilire la condizione di positività; se invece era negativo, l'equazione sarebbe stata impossibile, perché nessuna radice può esser uguale a un numero negativo.

Una volta stabilite le eventuali condizioni (se l'equazione è fratta, anche quella/e di accettabilità), si prepara un sistema contenente tutte le condizioni più l'equazione irrazionale. Utilizzando l'esempio di prima, il sistema si dovrebbe mostrare così:

Una volta giunti a questo punto, come mostrato nel secondo passaggio, si elevano entrambi i membri dell'equazione al quadrato (al quadrato in questo caso perché la radice contenente l'incognita ha indice 2; se avesse avuto indice 4, i due membri si sarebbero dovuti elevare alla quarta) al fine di eliminare la radice. Da qui si prosegue normalmente, come se si stesse risolvendo un normale sistema di disequazioni. La/e soluzione/i del sistema saranno le soluzioni dell'equazione.

S = {4}

Equazioni in cui l'incognita si trova sotto radice di indice dispari

Risolvere un'equazione di questo genere è decisamente più semplice che risolverneuna in cui l'incognita è sotto radice di grado pari. Difatti  sappiamo che la radice di indice dispari di un numero reale esiste sempre e ha sempre lo stesso segno di quel numero. Non avendo quindi alcuna limitazione non occorre porre alcuna condizione (tranne, quando è richiesto, quella di accettabilità), è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione al grado uguale all'indice della radice in cui è contenuta l'incognita, e risolver l'equazione così ottenuta. Esempio:

Se vi siete dimenticati come si risolvono le equazioni di grado superiore al secondo cliccate qui. :-)

Inoltre...se un'equazione irrazionale contiene due o più radicali con incognita... 
Se l'indice della radice in cui è contenuta l'incognita è dispari, l'equazione si risolve normalmente come spiegato sopra, e poiché molto probabilmente si formeranno nuove radici, sarà necessario elevare di nuovo a potenza fino all'eliminazione di ogni radice; per raggiungere quest'obiettivo è anche consigliabile tenere tutte le radici nello stesso membro, a meno che non compaiano nell'equazione sol due radici, come nell'esempio sopra; in questo caso conviene mettere una radice al primo membro e una al secondo membro, in modo che vengano eliminate entrambe con un solo passaggio. 
Per quel che riguarda le equazioni irrazionali con radice di indice pari devono essere sempre eliminate tutte le radici mediante l'elevamento a potenza, ma è conveniente che prima di fare ciò tutte le radici abbiano segno +. Per il resto è consigliabile tenere tutte le radici nello stesso membro. Inoltre, prima di ogni elevamento a potenza di deve controllare che non siano da fare nuove condizioni di positività, a causa della formazione di nuovi polinomi dopo il precedente elevamento a potenza. Non deve invece essere fatta alcuna condizione di realtà aggiuntiva.